Question

已知a是正常数，函数f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=a-

4

a

-（4x+

1

x

）lna，（x＞0）．
（1）若f′（1）=g′（

1

2

），求a的值；
（2）若函数存在单调递减区间A，求区间A．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意列出方程解得即可；
（2）由题意列出方程组，求交集即可得出结论，主要对a的分类讨论．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=a-

4

a

-（4x+

1

x

）lna，
∴f′（x）=1+

4

x2

-

4a+ 1 a

x

，g′（x）=-4lna+

lna

x2

，
∵f′（1）=g′（

1

2

），
∴1+4-4a-

1

a

=-4lna+4lna，
即5-4a-

1

a

=0，解得a=1或a=

1

4

．
（2）f′（x）=1+

4

x2

-

4a+ 1 a

x

≤0，g′（x）=-4lna+

lna

x2

≤0，
∵x＞0
所以不等式组化为：
x+

4

x

≤

4a+1

a

，lna≤

4x2

lna

，
∵

4a+1

a

≥x+

4

x

≥4，
∴a＞0
1）a=1，g'（x）=0，g（x）是常数函数，不符合单调递减
2）0＜a＜1，lna＜0
所以：4x²≤1，0＜x＜

1

2

对于x+

4

x

在x=

4

x

即x=2时取得最小值4，在（0，

1

2

）上是单调递减
x+

4

x

＞

1

2

+8=

17

2

所以：

4a+1

a

＞

17

2

∴0＜a＜

1

2

3）a＞1，lna＞0
∴4x²＞1，x＞

1

2

x+

4

x

≥4
∴

4a+1

a

＞4
故：a＞1并且a≠2
综上所述，0＜a＜

1

2

或1＜a＜2或a＞2．

点评：本题主要考查导数研究函数的单调性问题，解题时注意分类讨论思想的运用，考查学生的运算求解能力，属于难题．