Question

13、函数f（x）=lg（x²-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是

[1，2）

．

Answer 1

分析：复合函数f（x）=lg（x²-2ax+1+a）中，对数函数y=lgx为单调递增，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x²-2ax+1+a＞0，且函数u=x²-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．

解答：解：令u=x²-2ax+1+a，则f（u）=lgu，
  配方得u=x²-2ax+1+a=（x-a）² -a²+a+1，故对称轴为x=a
   如图所示：
  由图象可知当对称轴a≥1时，u=x²-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，
  又真数x²-2ax+1+a＞0，二次函数u=x²-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x²-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x²-2ax+1+a＞0，
 代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）
  故答案为：[1，2）

点评：y=f[g（x）]型函数可以看作由两个函数y=f（u）和u=g（x）复合而成，一般称其为复合函数．其中y=f（u）为外层函数，u=g（x）为内层函数．若内、外层函数的增减性相同，则复合函数为增函数；若内、外层函数的增减性相反，则复合函数为减函数．即复合函数单调性遵从同增异减的原则．