Question

已知M是直线3x+4y+8=0上的动点，MA、MB是圆P：（x-1）²+（y-1）²=4的两条切线，A、B为切点，P为圆心，求

PE

•

PF

的最大值

-

4

9

．

Answer 1

分析：由题意可得

PE

•

PF

=4cos∠EPF，当∠EMF最大时，

PE

•

PF

的值最大．由于当PM和直线3x+4y+8=0垂直时，∠EMF最大，此时，求得PM的值，即可求得cos∠PMF，利用二倍角
公式求得cos∠EPF 的值，从而求得

PE

•

PF

的值最大．

解答：解：由题意可得

PE

•

PF

=2×2×cos∠EPF=4cos∠EPF，圆心P（1，1），故要使

PE

•

PF

的值最大，只有∠EPF 最小．
再由四边形MEPF中∠MEP=∠MFP=

π

2

可得四边形MEPF是圆内接四边形，故∠EPF+∠EMF=π，故当∠EMF最大时，

PE

•

PF

的值最大．
由于当PM和直线3x+4y+8=0垂直时，∠EMF最大，此时，切线ME=MF，∠EPF=2∠MPF，PM等于圆心P到直线的距离

|3+4+8|

9+16

=3．
cos∠PMF=

PF

PM

=

2

3

，cos∠EPF=cos（2∠MPF）=2cos²∠MPF-1=

8

9

-1=-

1

9

，
故

PE

•

PF

的值最大为 4cos∠EPF=4×（-

1

9

）=-

4

9

，
故答案为-

4

9

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，圆的切线性质，二倍角公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．