Question

函数f（x）=x+

9

x

（x＞0）
（Ⅰ）写出函数f（x）的单调递增区间，并给出证明；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递减区间，不必证明；
（Ⅲ）求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用定义法证明函数的单调性，并写出函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）直接写出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）利用函数在区间[1，5]上的单调性求函数的最值．

解答：解：（I）函数f(x)=x+

9

x

(x＞0)的单调递增区间是（3，+∞）．
证明：设x₁，x₂∈（3，+∞），且 x₁＜x₂．
则x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＞0，x₁x₂＞0，

f(x1)-f(x2)=x1+ 9 x1 -x2- 9 x2 =(x1-x2)+( 9 x1 - 9 x2 )=(x1-x2)+ 9(x2-x1) x1x2 =(x1-x2)(1- 9 x1x2 )=(x1-x2) (x1x2-9) x1x2 ＜0

，
即f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）在区间（3，+∞）上是增函数．
即函数f(x)=x+

9

x

(x＞0)的单调递增区间是（3，+∞）．
（II）函数f(x)=x+

9

x

(x＞0)的递减区间是（0，3）．
（III）由第（I）、（II）可得函数f（x）在区间[1，3）上是减函数，在（3，5]上是增函数．
又f（1）=10，f（3）=4，f（5）═6.8，
所以f（x）在区间[1，5]上的最大值为10，相应的x为1．
f（x）在区间[1，5]上的最小值为4，相应的x为3．

点评：本题主要考查函数单调性的证明和利用单调性求函数的最值问题，利用定义法或导数是判断函数单调性的基本方法．