Question

17．已知O是△ABC中的一点，$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，则△OAB与△OAC的面积之比为（　　）

• A． 1：3
• B． 1
• C． 5：3
• D． 3：5

Answer 1

分析 以O为原点，作单位向量$\overrightarrow{O{A}^{'}}$，$\overrightarrow{O{B}^{'}}$，$\overrightarrow{O{C}^{'}}$，让它们两两夹角为120°，在OA'上取A点，使$\overrightarrow{O{A}^{'}}$=$\overrightarrow{OA}$，在OB'上取B点，使$\overrightarrow{O{B}^{'}}=3\overrightarrow{OB}$，在OC'上取C点，使$\overrightarrow{O{C}^{'}}=5\overrightarrow{OC}$，由此能求出△OAB与△OAC的面积之比．

解答 解：∵O是△ABC中的一点，$\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
∴以O为原点，作单位向量$\overrightarrow{O{A}^{'}}$，$\overrightarrow{O{B}^{'}}$，$\overrightarrow{O{C}^{'}}$，让它们两两夹角为120°，
则$\overrightarrow{O{A}^{'}}+\overrightarrow{O{B}^{'}}+\overrightarrow{O{C}^{'}}$=$\overrightarrow{0}$，
在OA'上取A点，使$\overrightarrow{O{A}^{'}}$=$\overrightarrow{OA}$，
在OB'上取B点，使$\overrightarrow{O{B}^{'}}=3\overrightarrow{OB}$，
在OC'上取C点，使$\overrightarrow{O{C}^{'}}=5\overrightarrow{OC}$，
所以$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，
因为S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$，
所以△OAB与△OAC的面积之比为：
$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OAC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|×sin120°}{\frac{1}{2}×|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{OC}|×sin120°}$=$\frac{|\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{5}}$=5：3．
故选：C．

点评 本题考查两个三角形面积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．