Question

如图，已知抛物线P：y²=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，，OC与AB交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求四边形AOBC的面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）设，由，OC与AB交于点M．可知：M是线段AB的中点．利用中点坐标公式可得：，①．②由OA⊥OB，利用数量积得．得到．依题意知y₁y₂≠0，得到y₁y₂=-1．③
把②、③代入①即可得到轨迹方程；
（2）依题意得四边形AOBC是矩形，可得四边形AOBC的面积为====．
再利用基本不等式的性质即可得出．
解法二：（1）依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，由于OA⊥OB，则直线OB的斜率为．故直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为．把直线方程与抛物线方程联立即可得出点A，B的坐标，再利用，即可得到线段AB的中点M的坐标即可得出轨迹方程．
（2）依题意得四边形AOBC是矩形，可得四边形AOBC的面积为==，利用基本不等式即可得出．
解答：解法一：
（1）解：设，
∵，OC与AB交于点M．
∴M是线段AB的中点．
∴，①．②
∵OA⊥OB，∴．
∴．
依题意知y₁y₂≠0，
∴y₁y₂=-1．③
把②、③代入①得：，即．
∴点M的轨迹方程为．
（2）解：依题意得四边形AOBC是矩形，
∴四边形AOBC的面积为====．
∵，当且仅当|y₁|=|y₂|时，等号成立，
∴．
∴四边形AOBC的面积的最小值为2．
解法二：
（1）解：依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，
由于OA⊥OB，则直线OB的斜率为．
故直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为．
由消去y，得k²x²-x=0．
解得x=0或．
∴点A的坐标为．
同理得点B的坐标为（k²，-k）．
∵，
∴M是线段AB的中点．
设点M的坐标为（x，y），则，消去k，得．
∴点M的轨迹方程为．
（2）解：依题意得四边形AOBC是矩形，
∴四边形AOBC的面积为===2．
当且仅当，即k²=1时，等号成立．
∴四边形AOBC的面积的最小值为2．
点评：本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式、向量的中点坐标公式及意义等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识．