Question

定义域为R的函数，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）等于

1. A.
   0
2. B.
   2
3. C.
   8
4. D.
   10

Answer 1

C
分析：先根据一元二次方程根的情况可判断f（2）一定是一个解，再假设f（x）的一解为A可得到x₁+x₂=4，同理可得到x₃+x₄=4，进而可得到x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
然后代入函数f（x）的解析式即可得到最后答案．
解答：解：对于f²（x）+bf（x）+c=0来说，f（x）最多只有2解，又当x不等于2时，x最多四个解，不满足题中的条件．
而题目要求5解，即可推断f（2）必为方程的一解．
假设f（x）的一个解为A，得f（x）=|x-2|=A，推出 x₁=2+A，x₂=2-A，∴x₁+x₂=4．
同理可得 x₃+x₄=4，∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=4+4+2=10，
∴f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（10）=|10-2|=8，
故选C．
点评：本题主要考查一元二次方程根的情况，和含有绝对值的函数的解法，考查基础知识的综合运用能力，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．