Question

已知 f（x）=sin2x-2sin²x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[-，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．

Answer 1

解：（1）因为 f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=2sin（2x+）-1，…（4分）
所以，函数的周期为T==π，即函数f（x）的最小正周期为 π． …（5分）
令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]． …（7分）
（2）因为-≤x≤，得-≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1． …（8分）
∴-2≤2sin（2x+）-1≤1，…（10分）
所以，函数f（x）的最大值为1．…（12分）
此时，2x+=，即 x=．…（14分）
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+）-1，由此求得函数的周期，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，可得f（x）的单调递减区间．
（2）根据-≤x≤，求得2x+ 的范围，可得sin（2x+）-1的范围，即为函数的值域，从而求得函数的最大值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性、周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．