Question

2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时）．某小区共有500户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示．
（1）通过频率分布直方图估计该小区居民用电量的中位数与平均数；
（2）该小区中第一类，第二类用电居民各为多少人？
（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率．

Answer 1

分析：（1）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，平均数，规律是：中位数，出现在在概率是0.5的地方，平均数为每个矩形的面积与底边中点乘积之和．
（2）分别求出用电区间在（0，170]和（170，260]的频率，用样本容量乘以频率，可得第一、第二类的人数；
（3）计算利用分层抽样方法，从中取5人，分别抽取的一类、二类人数；再计算从5人中取2人的总取法种数和这两户居民用电资费属于不同类的取法种数，代入古典概型概率公式计算．

解答：解：（1）∵从左边开始，前两个小矩形的面积之和为0.005×20+0.015×20=0.1+0.3=0.4＜0.5，
设中位数为150+x，则0.02×x+0.4=0.5⇒x=5，∴中位数为155．
平均数为120×0.1+140×0.3+160×0.4+180×0.1+200×0.06+220×0.04=156.8；
（2）第一类的用电区间在（0，170]，由频率分布直方图得，数据在（0，170]的频率为0.1+0.3+0.4=0.8，
∴该小区中第一类用电居民为500×0.8=400人；
第二类用电区间在（170，260]，由频率分布直方图得，数据在（170，260]的频率为0.1+0.06+0.04=0.2，
∴该小区中第二类用电居民为500×0.2=100人．
（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，得一类居民4户，二类居民1户；
从中任取2户．共有

C

2 5

=10种；
两户来自不同类型的有4种，
∴两户居民用电资费属于不同类型的概率为

2

5

点评：本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数，考查了分层抽样方法及古典概型的概率计算，考查了学生分析解答问题的能力，综合性强．