Question

定义在R上的函数f（x）对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）是R上的单调函数且f（5）=5，求不等式f[log2(x2-x-2)]＜2的解集．

Answer 1

分析：（1）（1）判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，可令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，再对x、y都赋值为0可得结论
（2）根据f（x）是R上的单调函数且f（5）=5，可判断出f（x）是R上的单调增函数且f（2）=2，进而可将不等式转化为一个对数不等式，进而根据对数的单调性，将不等式继续转化为一个二次不等式组，进而得到结论．

解答：解：（1）显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．
又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）由（1）中f（x）为奇函数
∴f（0）=0，
又∵f（5）=5，f（x）是R上的单调函数
∴f（x）是R上的单调递增函数
又∵f（5）=5f（1）=5，
∴f（1）=1，f（2）=2
∴不等式f[log2(x2-x-2)]＜2可化为log2(x2-x-2)＜2
即0＜x²-x-2＜4
解得-2＜x＜1或2＜x＜3
故原不等式的解集为（-2，1）∪（2，3）

点评：本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，属于中档题．在求值和证明过程中应该体会抽象函数恒等式的用法规律，根据恒等式的结构把已知用未知表示出来．