Question

已知双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，定点A（1，3），点P在双曲线的右支上运动，则|PF₁|+|PA|的最小值等于

11

．

Answer 1

分析：依题意，可求得F₁（-5，0），F₂（5，0），P在双曲线的右支上，利用双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=6，可求得|PF₁|=|PF₂|+6，从而可求得|PF₁|+|PA|的最小值．

解答：解：∵P在双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=6，
∴|PF₁|=|PF₂|+6，又A（1，3），双曲线右焦点F₂（5，0），
∴|PF₁|+|PA|
=|PF₂|+6+|PA|
≥|AF₂|+6
=

(5-1)2+(0-3)2

+6
=5+6
=11（当且仅当A、P、F₂三点共线时取“=”）．
故答案为：11．

点评：本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线的定义将|PF₁|转化为|PF₂|+6是关键，考查转化思想与应用不等式的能力，属于中档题．