Question

如图所示，边长为4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直，M、Q分别是PC，AD的中点．
（1）求证：PA∥面BDM
（2）求多面体P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）连结AC、BD交于点O，连接OM．利用正方形的性质，结合已知条件可得OM是△PAC的中位线，可得PA∥OM．再根据线面平行的判定定理，即可证出PA∥面BDM；
（2）由面面垂直的性质定理，证出PQ⊥底面ABCD，可得PQ是P-ABCD的高线．正三角形PAB中，算出高线PQ的长为2

3

，再利用锥体的体积公式即可算出多面体P-ABCD的体积．

解答：解：（1）连结AC、BD交于点O，连接OM．
则正方形ABCD中，AO=OC，
又∵PM=MC，∴OM是△PAC的中位线，可得PA∥OM．
∵PA?平面BMD，OM?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
（2）∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，
∴PQ⊥AD，PQ=2

3

．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，可得PQ是P-ABCD的高线
因此多面体P-ABCD的体积为V=

1

3

•S_ABCD•PQ=

1

3

×4²×

3

=

32 3

3

．

点评：本题给出四棱锥，求线面平行并求锥体的体积．着重考查了面面垂直的性质定理、线面平行判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．