Question

（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，四边形是边长为的正方形．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

16．

（I）连接A₁C交AC₁于O，连接OD

∵四边形AA₁C₁C为平行四边形

∴O为A₁C中点

∵D为BC中点

∴ODA₁B

∵ODC平面AC₁D

∴A₁B//平面AC₁D

（II）∵ABC-A₁B₁C₁为直棱柱

∴BB₁⊥平面ABC

∴BB₁⊥AD

∵AB=AC

且D为BC中点

∴AD⊥BC

∴AD⊥平面BB₁CC₁

∴AD⊥CE

∵BB₁C₁C为正方形

D、E分别为各边中点

∴CD=BE CC₁=BC

CE=C₁D

∴△CC₁D≌△CEB

∴∠2=∠3

∵∠1+∠2=90^o

∴∠1+∠3=90^o

∴C₁D⊥CE

∵AD⊥CE

∴CE⊥平面AC₁D

（III）过D作DE⊥AC于E，连C、E

∵CC₁⊥平面ABC

∴CC₁⊥DE

∵DE⊥AC

∴DE⊥平面，AA₁CC₁

∴设C-AC₁-D成角为α

∴

 

【解析】略