Question

  如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求r的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根

∴即。解这个方程组得

.

（II）  设四个交点的坐标分别为、、、。

则由（I）根据韦达定理有，

则

 

令，则     下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

     

    当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。

法2：设四个交点的坐标分别为、、、

则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为。

设，由及（Ⅰ）得   

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则将，代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或（舍去）

当时，；当时；当时，

故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。