Question

在△ABC中，A=120°，b=1，面积为

3

，则

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=

 

．

Answer 1

分析：根据三角形的面积公式，由A的度数，b的值和面积的值即可求出c的值，然后利用余弦定理，由A的度数，a与c的值即可求出a的值，利用正弦定理得到所求的式子等于a比sinA，把a的值和sinA的值代入即可求出值．

解答：解：由A=120°，b=1，面积为

3

，
得到S=

1

2

bcsinA=

1

2

c•

3

2

=

3

，解得c=4，
根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16+4=21，解得a=

21

，
根据正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

a+b+c

sinA+sinB+sinC

，
则

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=

a

sinA

=

21

3 2

=2

7

．
故答案为：2

7

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式及比例的性质化简求值，是一道中档题．