Question

在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，
∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：DF⊥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中点M，证明FM平行且等于CD，四边形FMCD为平行四边形，可得DF∥CM，从而证明DF∥平面ABC．
（II）由等腰三角形的性质可得CM⊥AB，再由CM⊥AE，可得CM⊥面ABE，DF⊥平面ABE．
（III）利用 V_{三棱锥D-BCE} =V   _{三棱锥E-BCD} =V_{三棱锥A-BCD}=

1

3

S△BCD×AC，求得结果．

解答：解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，连接FM，CM，
在△ABE中，F，M分别EB，AB的中点，∴FM∥

1

2

AE，且FM=

1

2

AE．
又∵CD∥AE，CD=

1

2

AE，∴FM平行且等于CD，
∴四边形FMCD为平行四边形，∴DF∥CM，又∵CM⊆平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（II）证明：∵AC=BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，又AE⊥平面ABC，
CM⊆平面ABC，∴CM⊥AE． 又AE∩AB=A，∴CM⊥面ABE，由（1）得DF∥CM，
∴DF⊥平面ABE．
（III）解：∵CD∥AE，∴V_{三棱锥D-BCE} =V   _{三棱锥E-BCD} =V_{三棱锥A-BCD}，
∴V三棱锥D-BCE=

1

3

S△BCD•AC=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，证明CM⊥面ABE，是解题的
关键．