Question

19．如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，△ADE，△BCF都是等边三角形，EF∥AB，且EF＞AB，M，O分别为EF，BD的中点，连接MO．
（Ⅰ）求证：MO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若EF=2AB，求二面角E-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：取BC、AD中点G、H，连接EH、FG、HG，推导出EFGH是等腰梯形，BC⊥平面EFGH，由此能证明MO⊥底面ABCD．
法二：连接AC、AM、CM，则O为AC中点，推导出MO⊥AC，MO⊥BD，由此能证明MO⊥底面ABCD．
（Ⅱ）法一：过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，推导出∠FBN为二面角F-BD-N的平面角，由此能求出二面角E-BD-F的余弦值．
法二：以O为坐标原点，直线HG、OM分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-F的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）证法一：取BC、AD中点G、H，连接EH、FG、HG，
又因为EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，则EF∥HG，
由EH=FG，可知EFGH是等腰梯形，…（2分）  
M和O分别为EF和HG的中点，则MO⊥HG．
因为△ADE，△BCF均为正三角形，
所以EH⊥AD、FG⊥BC、HG⊥BC，
则 BC⊥平面EFGH，…（4分）
MO在平面EFGH内，所以BC⊥MO；
又MO⊥HG，HG和BC是底面ABCD上的两条相交直线，
故MO⊥底面ABCD．…（6分）
证法二：连接AC、AM、CM，则O为AC中点，
因为EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，则EF∥CD，
因为△ADE，△BCF均为正三角形，则EA=ED=FB=FC，
可知EFBA和EFCD是全等的等腰梯形，…（2分） 
 因为M为EF中点，则MA=MB=MC=MD．
所以△MAC和△MBD是全等的等腰三角形，…（4分）
所以MO⊥AC，MO⊥BD，
又AC和BD是底面ABCD上的两条相交直线，
故MO⊥底面ABCD．…（6分）
解：（Ⅱ）方法一：过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，
因为EF=2AB，所以MF=ON=AB，OG=GN=BG=$\frac{1}{2}$AB，则BO⊥BN，
又FN∥MO，所以FN⊥底面ABCD，则FN⊥BO，所以BO⊥平面BFN，
则BO⊥BF，因此∠FBN为二面角F-BD-N的平面角，…（9分）
设AB=2a，则EM=MF=ON=2a，
GN=a，GF=$\sqrt{3}a$，则FN=$\sqrt{2}a$，又BN=$\sqrt{2}a$，
所以∠FBN=45°，即二面角F-BD-N为45°，同样二面角E-BD-A为45°，
因此二面角E-BD-F为90°，则所求余弦值为0．…（12分）
方法二：以O为坐标原点，直线HG、OM分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，
因为EF=2AB，设AB=2a，则EM=MF=ON=2a，GN=a，GF=$\sqrt{3}a$，
则FN=$\sqrt{2}a=OM$，则B（a，a，0），D（-a，-a，0），F（0，2a，$\sqrt{2}a$），E（0，-2a，$\sqrt{2}a$），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{DB}$=（2a，2a，0），$\overrightarrow{BE}$=（-a，-3a，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{BF}$=（-a，a，$\sqrt{2}a$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2ax+2ay=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-ax-3ay+\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），…（9分）
设平面BDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2ax+2ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-ax+ay+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
因为$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
所以平面BDE⊥平面BDF，因此二面角E-BD-F为90°，则所求余弦值为0．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．