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    （03年北京卷理）（14分）

    设是定义在区间上的函数，且满足条件，

    ①

    ②对任意的、，都有

    （Ⅰ）证明：对任意，都有

    （Ⅱ）证明：对任意的都有

    （Ⅲ）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得

    若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

    解析：（Ⅰ）证明：由题设条件可知，

    当时，有即

    （Ⅱ）对任意的，

    当

    当不妨设 则

    从而有

    总上可知，对任意的，都有

    （Ⅲ）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下：

         假设存在函数满足条件，则由   得

    又，所以      ①

       又因为为奇函数，所以，

    由条件   得

    所以       ②

      ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.

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       （Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.

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