Question

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x²=2py（p≠0）的异于原点的交点
（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆

x2

4

+y²=1上，p=

1

2ab

，
求证：点Q落在双曲线4x²-4y²=1上
（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=

1

2ab

，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

Answer 1

（1）当a=1，b=2，p=2时，
解方程组

x2=4y y=2x

得

x=8 y=16

即点Q的坐标为（8，16）（3分）
（2）证明：由方程组

x2= 1 ab y y=bx

得

x= 1 a y= b a

即点Q的坐标为(

1

a

，

b

a

)（5分）
∵P时椭圆上的点，即

a2

4

+b2=1
∴4(

1

a

)2-4(

b

a

)2=

4

a2

(1-b2)=1，
因此点Q落在双曲线4x²-4y²=1上（8分）
（3）设Q所在的抛物线方程为y²=2q（x-c），q≠0（10分）
将Q(

1

a

，

b

a

)代入方程，得

b2

a2

=2q(

1

a

-c)，即b²=2qa-2qca²（12分）
当c=0时，b²=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
当qc=

1

2

时，(a-

1

2c

)2+b2=

1

4c2

，此时点P的轨迹落在圆上；
当qc＞0且qc≠

1

2

时，

(a- 1 2c )2

1 4c2

+

b2

q 2c

=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；
当qc＜0时

(a- 1 2c )2

1 4c2

-

b2

(- q 2c )

=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）