Question

 设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.

（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；

（2）求证：直线恒过定点；

（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

 (本小题满分1４分)

解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，

令，解得，

代入方程得，故得，       ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因为到的中点的距离为，

从而过三点的圆的方程为．

易知此圆与直线相切.              ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得    

，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分

从而过抛物线上点的切线方程为即

又切线过点，所以得    ①   即

同理可得过点的切线为，

又切线过点，所以得    ②   即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即点，均满足即，故直线的方程为                                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得    

即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

从而，此时，

所以切点的坐标分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

因为，，

，

所以的中点坐标为

故直线的方程为，即.．．．．．．．．．．．．．．7分

又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即

又切线过点，所以得    ①   即

同理可得过点的切线为，

又切线过点，所以得    ②  

即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即点，均满足即，故直线的方程为                     ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）解法一：由（2）中①②两式知是方程的两实根，故有

（*）

将，，代入上（*）式得

∴

，     ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形；                                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

②当时，，，不可能为直角三角形；

                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

③当时，，.

因为，，

所以

若，则，整理得，

又因为，所以，

因为方程有解的充要条件是.

所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分

综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.

．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

解法二：由（2）知，且是方程的两实根，即，从而，

所以

当时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形；                                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

当时，即时，与不垂直。

因为，，

所以

若，则，整理得，

又因为，所以，

因为方程有解的充要条件是.

所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分

综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.

．．．．．．．．．．．．．．．．．14分