Question

(12分）

如图，三棱锥P―ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

（Ⅰ） 求证：AB平面PCB；

（Ⅱ）求异面直线AP与BC所成角的大小；                                     

(Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．  

                                                                                                                                                                      

                                                                          

Answer 1

解析：解法一：

(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．

∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．            …………………………2分

又，∴AB平面PCB．                      ……………………… 4分

(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则为异面直线PA与BC所成的角．………5分

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF．

则AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为．      ……………………………8分

（III）取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2， ∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB， 由三垂线定理的逆定理，得  DEPA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．             …………………………………10分

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

在中，PB=，

．

在中， cos=．

∴二面角C-PA-B大小的余弦值为.                 …………………………12分

解法二：（I）同解法一．                                           ………4分

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．

以B为原点，如图建立坐标系．

则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），                                             

C（，０，0），P（，０，2）．                                               

，．…6分                                         

                                                                              

 则+0+0=2．                 

== ．

 ∴异面直线AP与BC所成的角为．                    …………………………8分

（III）设平面PAB的法向量为= (x，y，z)．

，，

则   即

解得   令= -1,  得 = (，0，-1)．          …………………10分

设平面PAC的法向量为=()．

，，

 则   即

解得   令=1,  得 = (1，1，0)．

=．

∴二面角C-PA-B大小的余弦值为．                      ……………………12分