Question

(理)如图9所示,等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3.点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.记BE=x,V(x)表示四棱锥P—ACFE的体积.

图9

(1)求V(x)的表达式.

(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?

(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC与PF所成角的余弦值.

Answer 1

答案：(理)分析:本小题主要考查函数、函数极值、导数及其应用、几何体体积、空间异面直线所成的角等基础知识,考查数形结合的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识.

解：(1)∵EF⊥AB,∴EF⊥PE.又∵PE⊥AE,EF∩AE=E,且PE在平面ACFE外,∴PE⊥平面ACFE.∵EF⊥AB,CD⊥AB,∴EF∥CD.∴EF=.

∴四边形ACFE的面积S_{四边形ACFE}=S_△ABC-S_△BEF=××3-×x²=x².

∴四棱锥P—ACFE的体积V_P—ACFE=S_{四边形ACFE}·PE=x³,即V(x)=x³(0＜x＜).

(2)由(1)知V′(x)=x².令V′(x)=0x=6.∵当0＜x＜6时,V′(x)＞0,当6＜x＜时,V′(x)＜0,∴当BE=x=6时,V(x)有最大值,最大值为V(6)=.

(3)解法一:如图,以点E为坐标原点,向量、、分别为x、y、z轴的正向建立空间直角坐标系,

则E(0,0,0),P(0,0,6),F(0,,0),A(6-6,0,0),C(3-6,3,0).

于是=(-3,3,0),=(0,,-6).AC与PF所成角θ的余弦值为

cosθ=.

∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为.

解法二:过点F作FG∥AC交AE于点G,连结PG,则∠PFG为异面直线AC与PF所成的角.

∵△ABC是等腰三角形,

∴△GBF也是等腰三角形.

于是FG=BF=PF=,从而PG=.

在△GPF中,根据余弦定理得cos∠PFG==.

故异面直线AC与PF所成角的余弦值为.