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    设动点P到两定点F1(－l，0)和F2(1，0)的距离分别为d1和d2，∠F1PF2＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d1d2 sin2θ＝λ．

    （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

    （2）如图，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两点．问：是否存在λ，使△F1AB是以点B为直角定点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

    解：（1）在中，

    （小于的常数）

    故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．

    方程为．

    （2）方法一：在中，设，，，．

    假设为等腰直角三角形，则

    由②与③得，

    则

    由⑤得，

    ，

    故存在满足题设条件．

    方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得

    所以，

    则．①

    由，可设，

    则，．

    则．②

    由①②得．③

    根据双曲线定义可得，．

    平方得：．④

    由③④消去可解得，

    故存在满足题设条件．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出以下5个命题：
    ①曲线x2-（y-1）2=1按
    a
    =(1，-2)    平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
    ②设A、B为两个定点，n为常数，|
    PA
    |-|
    PB
    |=n    ，则动点P的轨迹为双曲线；
    ③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
    ④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
    AB
    与
    AP
    夹角为锐角θ，且满足 |
    PB
    | |
    AB
    | +
    PA
    •
    AB
    =0    ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
    ⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
    其中所有真命题的序号为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源：2007年普通高等学校招生全国统一考试、文科数学(江西卷) 题型：038

    设动点P到两定点F1(－l，0)和F2(1，0)的距离分别为d1和d2，∠F1PF2＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d1d2sin2θ＝λ．

    (1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

    (2)如图，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两点．问：是否存在λ，使△F1AB是以点B为直角定点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：江西省高考真题 题型：解答题

    设动点P到两定点F1(-1，0 )和F2(1，0 ) 的距离分别为d1和d2，∠F1PF2=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ，
    （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
    （2）如图过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，问：是否存在λ，使△F1AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    22. 设动点P到两定点F1(－l，0)和F2(1，0)的距离分别为d1和d2，∠F1PF2＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d1d2 sin2θ＝λ.

       （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

       （2）如图，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两点.问：是否存在λ，使△F1AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

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