Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，N是A₁D的中点，M∈BB₁，异面直线MN与A₁A所成的角为90°．
（1）求证：点M是BB₁的中点；
（2）求直线MN与平面ADD₁A₁所成角的大小；
（3）求二面角A-MN-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意取AA₁的中点P利用题中的N是A₁D的中点，得到线面垂直，在得到线线垂直进而线线平行即可得正中点；
（2）由题意及（1）知∠PNM即为MN与平面ADD₁A₁所成的角，然后在三角形中解出即可；
（3）因为N是A₁D的中点，M是BB₁的中点，得到三角形相似，在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，得到二面角的平面角，在三角形中解出．

解答：解：（1）证明：取AA₁的中点P，连接PM，PN．
∵N是A₁D的中点，∴AA₁⊥PN，又∵AA₁⊥MN，MN∩PN=N，
∴AA₁⊥面PMN．
∵PM?面PMN，∴AA₁⊥PM，∴PM∥AB，
∴点M是BB₁的中点．
（2）由（1）知∠PNM即为MN与平面ADD₁A₁所成的角．
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=

1

2

，
∴tan∠PNM=

PM

PN

=2，∠PNM=arctan2．
故MN与平面ADD₁A₁所成的角为arctan2．
（3）∵N是A₁D的中点，M是BB₁的中点，∴A₁N=AN，A₁M=AM，
又MN为公共边，∴△A₁MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A₁G，则∠A₁GA即为二面角A-MN-A₁的平面角．
在△A₁GA中，AA₁=2，A₁G=GA=

30

5

，
∴cos∠A₁GA=

A1G2+GA2- AA 2 1

2A1G•GA

=-

2

3

，∴∠A₁GA=arccos（-

2

3

），
故二面角A-MN-A₁的大小为arccos（-

2

3

）．

点评：此题重点考查了利用线线垂直得到线面垂直在得到线线垂直，利用同一个平面内垂直同一条直线的两条直线平行的性质，还考查了利用二面角平面角的定义求出二面角的大小及反三角的表示角的大小的知识，此还考查了余弦定理求角的大小．