Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F₁F₂P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

• A．(

  1

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．(

  1

  2

  ，1)
• C．(

  2

  3

  ，1)
• D．(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )∪(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：分等腰三角形△F₁F₂P以F₁F₂为底和以F₁F₂为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．

解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，
△F₁F₂P构成以F₁F₂为底边的等腰三角形，
此种情况有2个满足条件的等腰△F₁F₂P；
②当△F₁F₂P构成以F₁F₂为一腰的等腰三角形时，
以F₂P作为等腰三角形的底边为例，
∵F₁F₂=F₁P，
∴点P在以F₁为圆心，半径为焦距2c的圆上
因此，当以F₁为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，
存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P，
此时a-c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e＞

1

3

当e=

1

2

时，△F₁F₂P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠

1

2

同理，当F₁P为等腰三角形的底边时，在e＞

1

3

且e≠

1

2

时也存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P
这样，总共有6个不同的点P使得△F₁F₂P为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：e∈（

1

3

，

1

2

）∪（

1

2

，1）

点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F₁F₂P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．