Question

在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．

Answer 1

分析：（1）设构成递增的等比数列n+2个数分别为b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2．利用倒序相乘的方法，结合等比数列的性质算出An=2

n+2

2

，再由等比数列定义证出{A_n}是首项为A1=2

2

，公比为

2

的等比数列，由此不难算出数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）由（1）的结论，算出an=

n+2

2

，从而得到tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2），根据两角差的正切公式结合配角的方法，证出等式tan(n+1)tan(n+2)=

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1（n∈N^*），由此作为通项代入T_n的表达式，化简合并后即可得到

T n= tan(n+2)-tan2 tan1 -n

（n∈N^*）．

解答：解：（1）根据题意，n+2个数构成递增的等比数列，
设为b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2，
可得A_n=b₁•b₂•…•b_n+1•b_n+2，…①；A_n=b_n+2•b_n+1•…•b₂•b₁，…②
由等比数列的性质，得b₁•b_n+2=b₂•b_n+1=b₃•b_n=…=b_n+2•b₁=2，
∴①×②，得

A

2 n

=(b1bn+2)•(b2bn+1)•…•(bn+1b2)•(bn+2b1)=2ⁿ⁺²．
∵A_n＞0，∴An=2

n+2

2

．
因此，可得

An+1

An

=

2 n+3 2

2 n+2 2

=

2

（常数），
∴数列{A_n}是首项为A1=2

2

，公比为

2

的等比数列．
∴数列{A_n}的前n项和S_n=

2 2 [1-( 2 )n]

1- 2

=(4+2

2

)[(

2

)n-1]．
（2）由（1）得an=log2An=log22

n+2

2

=

n+2

2

，
∵tan1=tan[(n+1)-1]=

tan(n+1)-tann

1+tan(n+1)tann

，
∴tan(n+1)tann=

tan(n+1)-tann

tan1

-1，n∈N*．
从而tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1，n∈N*
∴

Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2

=tan2•tan3+tan3•tan4+…+tan(n+1)tan(n+2)

=( tan3-tan2 tan1 -1)+( tan4-tan3 tan1 -1)+…+( tan(n+2)-tan(n+1) tan1 -1)

= tan(n+2)-tan2 tan1 -n．

即T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2

= tan(n+2)-tan2 tan1 -n

．

点评：本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．