Question

已知△ABC中，2

2

（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，外接圆半径为

2

．
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化才边的关系，把外接圆半径代入求得a²+b²-c²=ab，根据余弦定理求得cosC的值，进而求得C．
（2）根据三角形的面积公式求得三角形面积的表达式，利用两角和公式化简整理后，根据角A的范围求得面积的最大值．

解答：解：（1）由2

2

（sin²A-sin²C）=（a-b）•sinB得2

2

（

a2

4R2

-

c2

4R2

）=（a-b）

b

2R

．
又∵R=

2

，
∴a²-c²=ab-b²．
∴a²+b²-c²=ab．
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

．
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°．
（2）S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

2

ab
=2

3

sinAsinB=2

3

sinAsin（120°-A）
=2

3

sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）
=3sinAcosA+

3

sin²A
=

3

2

sin2A-

3

2

cos2A+

3

2

=

3

sin（2A-30°）+

3

2

．
∴当2A=120°，即A=60°时，S_max=

3 3

2

．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生分析问题和解决问题的能力．