Question

已知f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1 (x∈R，a、b为实数）有极值，且x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在（2，+∞）上是单增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f'（x），然后根据f'（1）=1可求出a与b的关系，再由f（x）有极值可知△＞0，消去b可求出a的取值范围；
（2）根据f（x）在x＞2上是单增函数则f'（x）≥0在x＞2上恒成立，将a分离，在利用基本不等式求出不等式另一侧的最大值，结合（1）可求出a的范围．

解答：解：（1）f'（x）=x²+2ax-b由f'（1）=1⇒b=2a
又由f（x）有极值?△=4a²+4b＞0⇒a²+b＞0
∴a²+2a＞0⇒a＜-2或a＞0…（4）分
（2）f（x）在x＞2上是单增函数
则f'（x）=x²+2ax-2a≥0在x＞2上恒成立…（7）分⇒2a（1-x）≤x²⇒a≥

1

2

 

x2

1-x

…（9）分
令 t=x-1＞1，则只需求g(t)=

(t+1)2

t

的值域
当t＞1时，g(t)=t+

1

t

+2＞4∴-

1

2

 ＜

x2

1-x

＜-2
∴a≥-2，又a＜-2或a＞0故a的取值范围为a＞0…（12）分

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及极值问题和利用基本不等式求出最值，属于中档题．