Question

一个球面上有三个点A、B、C，若AB=AC=2，BC=2

2

，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为（　　）

A．3π

B．4π

C．8π

D．12π

Answer 1

分析：根据题意，算出△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，得BC的中点D为△ABC的外接圆的圆心．设球心为点O，连结OD，由球的截面圆性质，在Rt△BOD中根据所给数据算出OB长，得球半径R=

3

，即可算出该球的表面积．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC=2，BC=2

2

，
∴AB²+AC²=8=BC²，得△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
因此BC的中点D为△ABC的外接圆的圆心，
设球心为点O，连结OD，可得OD⊥平面ABC，
∵球心到平面ABC的距离OD=1，BD=

1

2

BC=

2

，
∴Rt△BOD中，OB=

OD2+BD2

=

3

，即球的半径R=

3

．
由此可得球的表面积S=4πR²=12π．
故选：D

点评：本题给出球面上三个点之间的距离，在已知三点确定的平面到球心的距离情况下，求该球的表面积．着重考查了球的截面圆性质、勾股定理和三角形的外接圆等知识，属于中档题．