Question

【题目】对于素数p，定义集合 .

及 .试求所有的素数p，使得

.

Answer 1

【答案】满足条件的所有素数p为2、3、5、13、17.

【解析】

1.首先验算当p＝2，3，5，13，17时，满足题意.

i.当p＝2时，对任意，a、b、c均为奇数或两奇一偶，此时，

.

故.

ii.当p＝3时，由平方数模3余0或1得

或.

因此，

iii.当p＝5时，若

.

由模5余0或±1，得不能模5同为1或-1，此时必有

.

因此，.

iv.当p=13时，若

.

由模13余0或±1或±3或±4，经验算得中有一个模13为0或-1，此时必有

或

或

因此,

v.当=p=17时,若

.

由模17余0或±1或±2或±4或±8，经验算得中有一个模17为0或-1，此时必有

或

或

因此,.

2.证明:当,且p>3时,不满足题意.

只需证明存在,而即可.

事实上,由p>3,知存在整数c,使得

.

由无解.

在模p意义下,定义函数,

.

若,则

.

于是,f为单射(在模p意义下).

因此,f的值域中共有个值.

由抽屉原理,知存在整数b,使得

.

注意到,b≠0(否则,与,矛盾),且a≠0(否则,与,矛盾).

若,则由

.

而,,,于是,

.

故当且p>3时,不满足题意.

3.证明:当,且p>17时,不满足题意.

先证明两个引理.

引理1 若p为奇素数,kt≠0,则

,

其中,Z为模p的完系,表示勒让德符号.

引理1的证明 设模p的二次非零剩余构成集合A,非二次剩余构成集合B.

若,则.

而遍历0一次,遍历集合A中每个元素恰两次,故

.

若,则.

而遍历0一次,遍历集合B中每个元素恰两次,故

=

=.

因此, .

引理2 设.则方程

①

至少有p-1组解.

引理2的证明 方程①等价于

至少有p-1组解.

固定有组解.

于是,共有组解.

由引理1及,得

.

回到原题.

令c=a+b,其中,S为的解集,则

=

=.

于是, .

若,则有下列四种情形:

ⅰ.至多有两个值(a,b).

ⅱ.至多有两个值(a,b).

ⅲ.且至多有两个值(a,b).

ⅳ.,此时,

.

而,故

至多6个b的解.

又一个b至多可确定两个a,于是,至多有12个值(a,b).

综上,至多有18个值,使得

.

又p>17时,p+1>18,则必存在一组,而.

故.

因此,满足条件的所有素数p为2、2、5、13、17.