如图.一科学考察船从港口O出发.沿北偏东a角的射线OZ方向航行.其中tana=.在距离港口O为3a海里北偏东β角的A处有一个供科学考察船物资的小岛.其中cosβ=.现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船.速往小岛A装运物资供给科学考察船.该船沿BA方向不变追赶科学考察船.并在C处相遇．经测算.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东a角的射线OZ方向航行，其中tana=

，在距离港口O为3

a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=

，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变追赶科学考察船，并在C处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成三角形OBC的面积S最小时，补给最合适．
（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）当m为何值时，补给最合适？

【答案】分析：先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系．
（1）先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案．
（2）根据（1）中S（m）的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．
解答：解：以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ的方程为y=3x①，
（1）设A（x，y），∵cosβ=

，sinβ=

，
则x=3

asinβ=9a，y=3

acosβ=6a，∴A（9a，6a）．
又B（m，0），则直线AB的方程为y=

（x-m） ②
由①、②解得，C（

，

），
∴S（m）=S_△OBC=

|OB||yc|=

×m×

（m＞7a）．
（2）S（m）=

=3a[（m-7a）+

+14a]≥84a²当且仅当m-7a=

，即m=14a＞7a时，等号成立，
故当m=14a海里时，补给最合适．
点评：本题主要考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用．考查函数的建模思想和转化思想．

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