Question

与函数f （x）有关的奇偶性，有下列三个命题：
①若f （x）为奇函数，则f （0）=0；
②若f （x）的定义域内含有非负实数，则f（|x|）必为偶函数；
③若f （-x）有意义，则f （x）必能写成一个奇函数与一个偶函数之和．
其中，真命题为

 

（写出你认为正确的所有命题的代号）

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．

解答：解：①函数为奇函数，则定义域关于原点对称，但不一定有f （0）=0，比如函数f（x）=

1

x

满足是奇函数，但f（0）无意义，∴①错误．
②若函数为偶函数，则定义域关于原点对称，若f （x）的定义域内含有非负实数，则定义域不一定关于原点对称，∴②不一定正确．
③若f（x）可分解为一个奇函数与一个偶函数的和，不妨设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，
则f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），则联立两式得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，此种分解方法只有一种，∴③正确．
故正确的是③．
故答案为：③

点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．