Question

下列四个命题，其中为真命题的是

①②③

；（写出所有的真命题序号）
①方程2x²+4x+y=0表示的曲线一定经过坐标原点，
②不等式x²+4x+5≤0的解集为空集，
③方程xy=0表示的曲线关于直线y=x对称，
④若sinα=sinβ，则α=β．

Answer 1

分析：根据曲线方程的概念，点在曲线上的充要条件是点的坐标是曲线方程的解，∴只需验证点的坐标是不是方程的解，就可判定点在不在曲线上，利用一元二次函数图象与一元二次方程的根，可分析求解一元二次不等式的解集；点（a、b）关于y=x对称点是（b、a），用方程验证即可．

解答：解：∵原点（0，0）的坐标是方程2x²+4x+y=0的解，∴曲线一定过坐标原点，①√；
∵△=4²-4×5=16-20=-4＜0，函数y=x²+4x+5 的图象全部在x轴上方，∴x²+4x+5≤0的解集为∅，∴②√；
∵对曲线上的任一点P（a，b）关于y=x的对称点Q（b，a），满足方程ba=0，∴Q（b，a）在曲线上，∴曲线 xy=0，关于y=x 直线对称，③√；
∵sin

π

6

=sin

5π

6

=

1

2

，而

π

6

≠

5π

6

，∴④×；
故答案是①②③

点评：本题借助真假命题的判断，考查了一元二次不等式的解集；曲线方程的概念及曲线对称的判定方法等知识．