Question

设f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

(n∈N*)，那么f（n）-m≥0对于n（n∈N^*，n≥2）恒成立，则m的取值范围为（　　）

• A．(-∞，

  1

  2

  )
• B．(-∞，

  7

  12

  )
• C．(-∞，

  1

  2

  ]
• D．(-∞，

  7

  12

  ]

Answer 1

分析：计算f（n+1）-f（n）的值大于零，可得函数f（n）为增函数，故n≥2时，函数f（n）的最小值为f（2），结合题意可得f（2）≥m，由此求得m的取值范围．

解答：解：∵f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

(n∈N*)，
∴f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+

4

n+1

…+

1

2n+1

+

1

2(n+1)

，
∴f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0．
故函数f（n）为增函数，故n≥2时，函数f（n）的最小值为f（2）=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
再由f（n）-m≥0对于n（n∈N^*，n≥2）恒成立，故有

7

12

≥m．
故m的取值范围为 (-∞，

7

12

]，
故选D．

点评：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，求出f（n）的最小值属于中档题．