Question

（理）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．
（I）求证：

1

n

＜f（

1

n

）＜

2

n

（n∈N⁺）；
（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）令g（x）=2x-f（x），G（x）=f（x）-x根据其单调性可得（x）在（0，+∞）递增以及G（x）在（0，1]递增，从而可得结论．
（II）结合第一问的结果对a的取值分情况讨论，结合其单调性即可求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） 令g（x）=2x-f（x），G（x）=f（x）-x．
∵g′（x）=2-cosx-

1

x+1

，定义域为（0，+∞）；
∴g（x）在（0，+∞）递增，⇒g（

1

n

）＞g（0）⇒2×

1

n

-f（

1

n

）＞0⇒f（

1

n

）＜

2

n

；
G（x）在（0，1]递增⇒G（

1

n

）＞G（0）⇒f（

1

n

）-

1

n

＞0⇒f（

1

n

）＞

1

n

．
从而可得结论．
（Ⅱ）  ①当a≥2时，对x≥0，由（Ⅰ） 的证明知f（x）≤2x≤ax．
②当a≤0时，f(

π

2

)=1+ln(1+

π

2

)＞0≥a•

π

2

，不合题意．
③当0＜a＜2时，今F（x）=f（x）-ax．
则F′(x)=cosx+

1

1+x

-a=(cosx-

a

2

)+(

1

1+x

-

a

2

)．
取x0=min{arccos

a

2

，

2

a

-1}．则x₀＞0．
易知当x∈（0，x₀）时，F'（x）＞0，
∴F（x）递增⇒F（x）＞F（0）=0，即f（x）＞ax，不合题意．
综上知：a∈[2，+∞）．

点评：本题主要考察利用导数研究函数的单调性．导函数大于0对应的范围是原函数的增区间；导函数小于0对应的范围是原函数的减区间．