Question

设点列A_n（x_n，0）、P_n（x_n，2^n-1）和抛物线列Cn：y=x2+

x

2n

+an（n∈N*），x_n由以下方法得到：点P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在抛物线Cn：y=x2+

x

2n

+an上，点A_n（x_n，0）到P_n+1的距离是A_n到C_n上点的最短距离；试写出x_n+1和x_n之间的递推关系式为x_n+1=

 

（用x_n表示）．

Answer 1

分析：本题考查数列与解析几何的综合问题，涉及了抛物线方程、直线与抛物线的关系、导数及其几何意义等多方面的知识和方法．要充分利用点在抛物线上则满足抛物线方程，结合两点间的距离公式用点p（x，y）表示||AnP|，然后借助于导数，因为点A_n（x_n，0）到P_n+1的距离是A_n到C_n上点的最短距离，所以有f'（x_n+1）=0，建立方程，最终使问题得到解决．

解答：解：由题意得设点P（x，y）是Cn上任意一点，
则|A_nP|=

(x-xn)2+(x2+ x 2n +an )2

，令

f(x)

 =

(x-xn)2+(x2+ x 2n +an )2

．
则f'（x）=2（x-x_n）+2（x²+

x

2n

+a_n）（2x+

1

2n

）
因为点A_n（x_n，0）到P_n+1的距离是A_n到C_n上点的最短距离，所以f'（x_n+1）=0，
即2（x_n+1-x_n）+2（x_n+1²+

x

2n

+a_n）（2x_n+1+

1

2n

）=0
又点P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在抛物线Cn：y=x2+

x

2n

+an上，
∴2n=xn+12+

xn+1

2n

+an，从而可得xn+1=

xn-1

2n+1+1

，
故答案为：xn+1=

xn-1

2n+1+1

．

点评：本题的综合性极强，是多种知识和方法的汇总，处理起来难度较大，不仅需要具备综合运用知识的能力，还要运算准确