Question

(13分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，为等边三角形，又平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求的取值范围；

（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD………2分

建立如图的空间直角坐标系，则,设Q（t，2，0），

则 ＝（t，2，－），＝（t，2，0）．            
∵PQ⊥QD，∴．

∴,等号成立当且仅当t=2．

故的取值范围为． …………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，=8时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．

此时Q（2，2，0），D（4，0，0）, ．                               

设是平面的法向量，＝（2，2，），

＝（-2，2，0）．            
由，得．

取，则  是平面的一个法向量．                 

而是平面的一个法向量，                  

设二面角A－PD－Q为，由．

∴二面角A－PD－Q的余弦值为．  ……13分