Question

已知在同一平面内

OA

、

OB

、

OC

满足条件：

OA

+

OB

+

OC

=

0

，|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|≠0．
（I）求证：△ABC为正三角形；
（II）类比于（I），在同一平面内，若向量

OA

，

OB

，

OC

，

OD

满足条件：

OA

+

OB

+

OC

=

0

，|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|≠0，试判断四边形ABCD的形状，并给予证明．

Answer 1

分析：（I）利用向量的运算法则将等式中的向量

OA

，

OB

，

OC

用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．
（II）先设|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=r，根据向量的运算得出：∠AOB=∠COD；∠AOD=∠BOC从而∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三点共线及、O、D三点共线，又|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|得出四边形ABCD为矩形．

解答：解：（I）证明：设|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=r
则

OA

+

OB

+

OC

=

0

?

OA

+

OB

=-

OC

?(

OA

+

OB

)2=

OC

2?(

OA

+

OB

)2=

OC

2?cos∠AOB=-

1

2

?∠AOB=

2π

3

（3分）

AB

=

OB

-

OA

?

AB

2=

OB

2+

OA

2-2

OB

•

OA

=3r2?|

AB

|=

3

r同理|

AB

|=|

BC

|=

3

r=|

AC

|
∴△ABC为正三角形（6分）
（II）四边形ABCD为矩形（8分）设|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=r，则

OA

+

OB

=-

OC

-

OD

?(

OA

+

OB

)2=(-

OC

-

OD

) 2?2r²+2r²cos∠AOB=2r²+2r²cos∠COD?∠AOB=∠COD
同理∠AOD=∠BOC（10分）
又∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°
∴∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三点共线
同理B、O、D三点共线又|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|
∴四边形ABCD为矩形．（12分）

点评：本题考查向量的运算法则及利用向量判断出三角形的形状．解答的基础是对向量运算和变形的熟悉掌握．