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   已知抛物线经过点A(2,1),过A作倾斜角互补的两条不同直线.

(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程;

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时,求直线与抛物线所围成封闭区域的面积;

(Ⅲ)设直线分别交抛物线BC两点(均不与A重合),若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切,求直线BC的方程.

(Ⅰ),其准线方程为    (Ⅱ)(Ⅲ)


解析:

(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线上, 所以  ,即.    ……………….2分

         故所求抛物线的方程为,其准线方程为.         ……………….3分

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时,由,可知直线的斜率为1,其倾斜角为,所以直线的倾斜角为,故直线的斜率为,所以的方程为  …….4分

将其代入抛物线的方程得  , 解得  ,    …….5分

所以直线与抛物线所围成封闭区域的面积为:

                                             ……………….6分

      ……………….8分

(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为,                                              ……………….9分

      由

      得,                  ……………….10分

      易知该方程有一个根为2,所以另一个根为

      所以点B的坐标为,

      同理可得C点坐标为,                           ……………….11分

      所以

,                                   ……………….12分

      线段BC的中点为,因为以BC为直径的圆与准线相切,

      所以  ,由于,  解得  .     …………….13分

      此时,点B的坐标为,点C的坐标为

      直线BC的斜率为

      所以,BC的方程为,即

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已知抛物线经过点A(2,1),过A作倾斜角互补的两条不同直线.

(1) 求抛物线W的方程及准线方程;

(2) 当直线与抛物线W相切时,求直线的方程;

(3) 设直线分别交抛物线W于B、C两点(均不与4重合),若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切,求直线BC的方程.

 

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