Question

己知斜率为1的直线l与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．
（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．

解答：解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，
得（b²-a²）x²-4a²x-a²b²-4a²=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1x2=-

4a2+a2b2

b2-a2

，①
由M（1，3）为BD的中点知

x1+x2

2

=1．
故

1

2

×

4a2

b2-a2

=1，即b²=3a²，②
故c=

a2+b2

=2a，
∴C的离心率e=

c

a

=2．
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x²-y²=3a²，A（a，0），F（2a，0），
x1+x2=2，x1x2=-

4+3a2

2

．
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a，
|BF|=

(x1-2a)2+y12

=a-2x1，|FD|=

(x2-2a)2+y22

=2x2-a，
|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²=5a²+4a+8．
又|BF|•|FD|=17，故5a²+4a+8=17．
解得a=1，或a=-

9

5

（舍去），
故|BD|=

2

|x1-x2|  =

2

(x1+x2) 2-4x1x2

=6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，
因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．

点评：本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．