练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为
    14
    的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|2．
    （1）求双曲线G的渐近线的方程；
    （2）求双曲线G的方程；
    （3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴、如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB，若P（x，y）（y＞0）为椭圆上一点，求当△ABP的面积最大时点P的坐标．
    分析：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得
    |5k|
    		k2+1
    =
    		5
    ，由此能求出双曲线G的渐近线的方程．
    （2）设双曲线G的方程为x2-4y2=m，把直线l的方程y=
    1
    4
    （x+4）代入双曲线方程，得3x2-8x-16-4m=0，则xA+xB=
    8
    3
    ，xAxB=-
    16+4m
    3
    ．由|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，知4（xA+xB）+xAxB+32=0．由此能求出双曲线的方程．
    （3）设椭圆S的方程为
    y2
    28
    +
    y2
    a2
    =1（a＞2
    		7
    ），设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x0，y0），则
    x12
    28
    +
    y12
    a2
    =1，
    x22
    28
    +
    y22
    a2
    =1，两式作差得
    (x1-x2)(x1+x2)
    28
    +
    (y1-y2)(y1+y2)
    a2
    =0．由此入手能够求出P点的坐标．
    解答：解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
    则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得
    |5k|
    		k2+1
    =
    		5
    ，
    所以k=±
    1
    2
    ，即双曲线G的渐近线的方程为y=±
    1
    2
    x．  （3分）
    （2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
    把直线l的方程y=
    1
    4
    （x+4）代入双曲线方程，
    整理得3x2-8x-16-4m=0，
    则xA+xB=
    8
    3
    ，xAxB=-
    16+4m
    3
    ．（*）
    ∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
    ∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
    整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．将（*）代入上式得m=28，
    ∴双曲线的方程为
    x2
    28
    -
    y2
    7
    =1．               （7分）
    （3）由题可设椭圆S的方程为
    y2
    28
    +
    y2
    a2
    =1（a＞2
    		7
    ），
    设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x0，y0），
    则
    x12
    28
    +
    y12
    a2
    =1，
    x22
    28
    +
    y22
    a2
    =1，
    两式作差得
    (x1-x2)(x1+x2)
    28
    +
    (y1-y2)(y1+y2)
    a2
    =0，
    由于
    y1-y2
    x1-x2
    =-4，x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，所以
    x0
    28
    -
    4y0
    a2
    =0，
    所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线
    x
    28
    -
    4y
    a2
    =0截在椭圆S内的部分．
    又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以
    a2
    112
    =
    1
    2
    ，即a2=56，
    故椭圆S的方程为
    x2
    28
    +
    y2
    56
    =1（12分）
    由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点，
    易得切线m的方程为y=
    1
    2
    x+3
    		7
    ，解得切点坐标x=
    2
    		7
    3
    ，y=
    10
    		7
    3
    ，
    则P点的坐标为（
    2
    		7
    3
    ，
    10
    		7
    3
    ）．（14分）
    点评：本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查双曲线方程的求法，查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为
    14
    的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|2．
    （1）求双曲线G的渐近线的方程；
    （2）求双曲线G的方程；
    （3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线方程是y=±
    1
    2
    x    ．过点P（-4，0）作斜率为
    1
    4
    的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，点P在线段AB上，并且满足|PA|•|PB|=|PC|2，求双曲线G的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2013届山东省济宁市高二上学期期末考试理科数学 题型：解答题

    (本小题满分12分)

    已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线,使得和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.   

    (1)求双曲线G的渐近线的方程；  

    (2)求双曲线G的方程；

    (3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB,若P（x,y）（y>0）为椭圆上一点,求当的面积最大时点P的坐标.

     

     

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2013届吉林省高二上学期质量检测理科数学 题型：解答题

    .已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线,使得和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.   

    (1)求双曲线G的渐近线的方程；  

    (2)求双曲线G的方程；

    (3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB,若P（x,y）（y>0）为椭圆上一点,求当的面积最大时点P的坐标.

     

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案