Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点． （Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC= ，
∴AC2+BC2=AB2 ， ∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（ ，﹣ ， ），
=（1，1，0）， =（0，0，a）， =（ ，﹣ ， ），
取 =（1，﹣1，0），则 = =0， 为面PAC的法向量．
设 =（x，y，z）为面EAC的法向量，则 = =0，
即 取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则 =（a，﹣a，﹣2），
依题意，|cos＜ ， ＞|= = = ，则a=2．
于是 =（2，﹣2，﹣2）， =（1，1，﹣2）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量 =（1，﹣1，0），面EAC的法向量 =（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为 ，可求a的值，从而可求 =（2，﹣2，﹣2）， =（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．