Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求证：A₁C⊥平面BDC₁；
（3）求二面角A-BC₁-D的正切值．

Answer 1

（1）证明：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面B₁C₁CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2…（2分）
连B₁C交BC₁于O，连接OD，在△CAB₁中，O，D分别是B₁C，AC的中点，∴OD∥AB₁，
而AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC₁；…..（4分）
（2）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴AA₁⊥BD，
∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C①…..（6分）
又A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CB
∴A₁B₁⊥B₁C，
在正方形B₁C₁CB中，BC₁⊥B₁C，
∵B₁C，A₁B₁?平面A₁B₁C，B₁C∩A₁B₁?=B₁，
∴B₁C⊥平面A₁B₁C，
∴B₁C⊥A₁C②…..（8分）
由①②，又BD∩BC₁=B，BD，BC₁?平面BDC₁，
∴A₁C⊥平面BDC₁；…9
（3）解：如图补成正方体，则∠O₁OS为二面角的平面角，∵O₁O=2，O₁S=，∴tan∠O₁OS=…..14

分析：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面B₁C₁CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2
（1）证明AB₁∥平面BDC₁，证明OD∥AB₁即可；
（2）证明A₁C⊥平面BDC₁，利用线面垂直的判定，只需证明BD⊥A₁C，B₁C⊥A₁C；
（3）补成正方体，则∠O₁OS为二面角的平面角，利用正切函数可得结论．
点评：本题考查线面平行的判定，及线面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，及线面垂直的判定定理．