Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足b_n=2log₂（a_n+1-n），证明：（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）＞

n+1

对一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）先对关系式a_n+1=a_n+2ⁿ+1整理可得到数列{a_n-2ⁿ}为等差数列，进而可求出数列{a_n-2ⁿ}的通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（2）根据（1）中的数列{a_n}的通项公式可得到b_n的表达式，然后代入到（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）中，利用数学归纳法来进行证明．

解答：解：（1）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1
故数列{a_n-2ⁿ}为等差数列，且公差d=1．
a_n-2ⁿ=（a₁-2）+（n-1）d=n-1，a_n=2ⁿ+n-1；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+n-1，∴b_n=2log₂（a_n+1-n）=2_n
（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）
=（1+

1

2

）（1+

1

4

）…（1+

1

2n

）＞

n+1

（1）当n=1时，（1+

1

2

）=

3

2

＞

1+1

=

2

，不等式成立，
（2）假设n=k（k≥1）时不等式成立，
即（1+

1

2

）（1+

1

4

）（1+

1

2k

）＞

k+1

，
那么当n=k+1时，
（1+

1

2

）（1+

1

4

）（1+

1

2k

）（1+

1

2(k+1)

）
＞（1+

1

2(k+1)

）=

2k+3

2 k+1

=

k+ 3 2

k+1

=

(k+ 3 2 )2

k+1

=

k2+3k+ 9 4

k+1

＞

k2+3k+2

k+1

=

(k+1)(k+2)

k+1

=

k+2

=

(k+1)+1

这说明，当n=k+1时不等式也成立
综上可知，对于Vn∈N^*，原不等式均成立．

点评：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野．