Question

（2013•朝阳区一模）在下列命题中，
①“α=

π

2

”是“sinα=1”的充要条件；
②(

x3

2

+

1

x

)4的展开式中的常数项为2；
③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P(-1＜ξ＜0)=

1

2

-p．
其中所有正确命题的序号是（　　）

A．②

B．③

C．②③

D．①③

Answer 1

分析：①利用特殊值α=

5π

2

，判断出为假命题．
②利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．
③根据随机变量ξ～N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于-1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是

1

2

，得到结果．

解答：解：①是假命题．α=

π

2

，是能推得sinα=1，反之，sinα=1，α可以为

5π

2

或其他数值．
②：(

x3

2

+

1

x

)4的通项为T _r+1=C

r 4

(

x3

2

)4-r（

1

x

）^r=2^r-4C₄^rx^12-4r
令12-4r=0得r=3
∴展开式的常数项为T₄=

1

2

C₄³=2；正确；
③：∵随机变量ξ～N（0，1），
∴正态曲线关于x=0对称，
∵P（ξ≥1）=p，
∴P（ξ＜-1）=p，
∴P（-1＜ξ＜0）=

1

2

-p，正确．
故选C．

点评：本题考查命题真假的判断，考查了充要条件、二项式定理、正态分布等知识．