Question

已知动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x=1的距离之比为.

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)设点P的轨迹为曲线C,过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂,l₁交曲线C于A、B两点,l₂交曲线C于M、N两点.求证:+为定值.

Answer 1

答案：(1)解:设P(x,y),

由题意得=|x-1|.

化简得x²-y²=2.

所以点P的轨迹方程为x²-y²=2.

(2)证明:当直线l₁,l₂之一与x轴垂直,不妨设l₁与x轴垂直,此时A(2, ),B(2,- ),M(-,0),N(,0),

·=(0,)·(0,-)=-2,

·=(--2,0)·(-2,0)=2,

所以+=0.

当直线l₁,l₂都不与x轴垂直时,

由题意设直线l₁为y=k(x-2),k≠0,

则l₂的方程为y=(x-2).

由得(1-k²)x²+4k²x-4k²-2=0.

因为l₁交双曲线C于A、B两点,

所以

解得k≠±1.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=,y₁=k(x₁-2),y₂=k(x₂-2).

因为=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂),

所以·=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂

=(1+k²)［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］

=(1+k²)(+4)

=.12分

同理可求得·=.

所以+=(+)=0,

即+为定值0.