Question

已知函数g(x)=

x2-2

(x≥2)的导数为g′(x)=

x

x2-2

(x≥2)，记函数f（x）=x-kg（x）（x≥2，k为常数）．
（1）若函数f（x）在区间（2，+∞）上为减函数，求k的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）在区间（2，+∞）上为减函数可得到f（x₁）-f（x₂）关于x₁，x₂的关系式，然后转化为k＞

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

对x₁，x₂∈（2，+∞）恒成立的问题，即可得到k的取值．
（2）对函数f（x）进行求导，然后分两种情况讨论，当k≤0时易知函数f（x）是增函数，可直接求出值域；当k＞0时，又分三种情况k＞1、k=1、0＜k＜1根据导数的正负情况进行讨论，从而可得到函数的单调性确定值域．

解答：解：（1）因为f（x）在区间（2，+∞）上为减函数，
所以对任意的x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂恒有f（x₁）-f（x₂）＞0成立．
即f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+

k(x2-x1)(x2+x1)

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

＞0恒成立．
因为x₂-x₁＞0，所以k＞

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

对x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂时，恒成立．
又

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

＜1，所以k≥1．
（2）f′(x)=1-

kx

x2-2

=1-

k

1- 2 x2

(x≥2)．
下面分两种情况讨论：
（1）当k≤0时，f(x)=x-k

x2-2

是关于x的增函数，值域为[2-

2

k，  +∞)
（2）当k＞0时，又分三种情况：
①当k＞1时，因为x＞

x2-2

，所以1-

kx

x2-2

＜0，即f'（x）＜0．
所以f（x）是减函数，f(x)≤f(2)=2-

2

k．
又f(x)=x-k

x2-2

=

(1-k2)x2+2k2

x+k x2-2

=

(1-k2)x+ 2k2 x

1+k 1- 2 x2

，
当x→+∞，f（x）→-∞，所以f（x）值域为(-∞，  2-

2

k]．
②当k=1时，f(x)=x-

x2-2

=

2

x2+ x2-2

＞0，
且f（x）是减函数，故f（x）值域是(0，  2-

2

]．
③当0＜k＜1时，f'（x）是增函数，
f(2)=2-

2

k，f(x)=x-k

x2-2

=

(1-k2)x2+2k2

x+k x2-2

=

(1-k2)x+ 2k2 x

1+k 1- 2 x2

．
下面再分两种情况：
（a）当0＜k≤

2

2

时，f'（x）=0的唯一实根x=

2 1-k2

≤2，
故f'（x）＞0（x≥2），f(x)=x-k

x2-2

是关于x的增函数，值域为[2-

2

k，  +∞)；
（b）当

2

2

＜k＜1时，f'（x）=0的唯一实根x=

2 1-k2

＞2，
当2≤x＜

2 1-k2

时，f'（x）＜0；当x＞

2 1-k2

时，f'（x）＞0；
所以f（x）≥f(

2 1-k2

)=

2(1-k2)

．故f（x）的值域为[

2(1-k2)

，  +∞)．
综上所述，f（x）的值域为[2-

2

k，  +∞)(k≤

2

2

)；
[

2(1-k2)

，  +∞)（

2

2

＜k＜1）；(0，2-

2

]（k=1）；(-∞，  2-

2

k]（k＞1）．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的值域．导数是高考必考点，要重视．