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已知动点,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为

(0<<2π),M为PQ的中点。

(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程

(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点。

 

【答案】

(Ⅰ),(为参数,)(Ⅱ)过坐标原点

【解析】(Ⅰ)由题意有,, ,

因此,

M的轨迹的参数方程为,(为参数,).

(Ⅱ)M点到坐标原点的距离为

时,,故M的轨迹过坐标原点.

本题第(Ⅰ)问,由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P的坐标,求出答案; 第(Ⅱ)问,由互化公式可得.对第(Ⅰ)问,极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.

【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

选修4--4;坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:
x=2cosβ
y=2sinβ
(β为参数)
上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2-7x+y2+4=0的切线长,设点P的轨迹为曲线E;
(1)求曲线E的方程;
(2)是否存在一点Q(m,n),过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点,点  (
1
|MQ|
1
|NQ|
)都在以原点为圆心,定值r为半径的圆上?若存在,求出m、n、r的值;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版) 题型:解答题

选修4--4;坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

选修4-4:坐标系与参数方程

 已知动点P. Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=a与t=2a(0<a<2π),M为PQ的中点。

(I)求M的轨迹的今数方程:

(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a的26数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.

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