【题目】圆周上有个白点,先将其中一个染为黑色(称为第一次染色),对任何正整数
,第
次染色后按逆时针方向间隔
个点将下个点染成与原来颜色相反的颜色(称为第
次染色).
(1)对给定正整数,是否存在正整数
,使
次染色后
个点均为白色?
(2)对给定正整数,是否存在正整数
,使
次染色后
个点均为黑色?
【答案】(1)存在(2) 不存在
【解析】
设个点按逆时针方向编号为1,2,…,
.对固定的
,记第
次染色的点的编号为
,称
为染色数列.
不妨设.则
注意到,染色数列是二阶等差数列,即,其中编号在模
意义下.
(1)显然,第次染色后
个点均为白色,等价于染色数列的前
项中每个数出现的次数均为偶数.分别考虑
的情形,各染色数列如下表:
n | 最小次数 | ||||||||||
2 | 1 | 2 | |||||||||
3 | 1 | 3 | 4 | ||||||||
4 | 1 | 3 | 6 | ||||||||
5 | 1 | 3 | 8 | ||||||||
6 | 1 | 3 | 10 |
由此猜想, 个点时,经过
次染色,全变成白色.
下面通过配对的方法证明:在前次染色中,第
次与第
次染同一个点,从而,每个点均被染偶数次(包括0次),均变为白色.
事实上,
(2)对任何正整数,均不存在正整数
,使
次染色后全部变黑.
首先, ,即染色数列(关于模
)是以
为周期的周期数列,且
(即第
次与第
次染色的是同个点).
事实上,.
考虑前次染色中染色的总次数,发现至少有一个点未染色.
由(1),知第次与第
次染色的是同一个点,于是,在前
次染色中,被染过色的点均至少染过两次颜色从而,至多有
个点被染过颜色,即至少有个点从未被染过色,故前
次染色中不可能出现全黑的情形.
而第次染色后全白,故,第
次染色后只有一个黑子.又
,第
次染色后全白,于是,前
次染色中不可能出现全黑的情形.
由周期性,任何时候均不可能出现全黑的情形.
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【题目】某地有10个著名景点,其中8 个为日游景点,2个为夜游景点.某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地.行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点,第二天上午、下午各一个景点.
(1)甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种?
(2)甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种?
(3)甲、乙两日游景点不同时被选,共有多少种不同排法?
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【题目】已知函数,
,给出如下四个命题:
①的单调递增区间为
;
②时,
的极小值点为
;
③时,
在
上存在唯一零点;
④若在
(
为自然对数的底数)上的最小值为3,则
.
其中的真命题有______.(填上你认为所有正确的结论序号
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【题目】已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率,椭圆上的点到焦点的最短距离为
, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且
.
(1)求椭圆方程;
(2)求的取值范围.
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【题目】如图所示的折线图为某小区小型超市今年1月份到5月份的营业额和支出数据(利润=营业额-支出),根据折线图,下列说法正确的是( )
A.该超市这五个月中的营业额一直在增长;
B.该超市这五个月的利润一直在增长;
C.该超市这五个月中五月份的利润最高;
D.该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关.
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【题目】已知函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,且
.
(1)过作截面与线段
交于点H,使得
平面
,试确定点H的位置,并给出证明;
(2)在(1)的条件下,若二面角的大小为
,试求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内选择一天出游,甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,则这三人出游的不同方法数为________.
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