Question

（2012•盐城二模）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E_n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F_n种选法．
（1）试求E_n和F_n；
（2）判断lnE_n和F_n的大小（n∈N₊），并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得E_n；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得F_n；
（2）lnE_n=2lnn!，F_n=n（n+1），猜想2lnn!＜n（n+1），再用数学归纳法证明，第2步的证明，利用分析法进行证明．

解答：解：（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得En=

A

n n

•

A

n n

=(n!)2；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得Fn=

C

1 n+1

•

C

1 n

=n(n+1)…4分
（2）因为lnE_n=2lnn!，F_n=n（n+1），所以lnE₁=0＜F₁=2，lnE₂=ln4＜F₂=6，lnE₃=ln36＜F₃=12，…，由此猜想：当n∈N^*
时，都有lnE_n＜F_n，即2lnn!＜n（n+1）…6分
下用数学归纳法证明2lnn!＜n（n+1）（n∈N^*）．
①当n=1时，该不等式显然成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），
则当n=k+1时，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），
要证当n=k+1时不等式成立，只要证：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），
只要证：ln（k+1）≤k+1…8分
令f（x）=lnx-x，x∈（1，+∞），因为f′(x)=

1-x

x

＜0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而f（x）＜f（1）=-1＜0，而k+1∈（1，+∞），所以ln（k+1）≤k+1成立，
则当n=k+1时，不等式也成立．
综合①②，得原不等式对任意的n∈N^*均成立…10分

点评：本题考查数学归纳法的运用，解题的关键是先猜后证，注意数学归纳法的证题步骤．